第7章《高等数学(第八版 上册)》同济大学数学科学学院主编教材-高等教育出版社-2023年--章节练习试题库下载

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教材名称：《高等数学(第八版 上册)》

主编：同济大学数学科学学院

出版社：高等教育出版社

版次：2023-06-07

ISBN：9787040589818

目·录

考试集教材配套题库介绍 1

一、精准匹配教材，一站式学习解决方案 1

二、题库核心优势 1

一、单项选择题（60题） 3

二、多项选择题（40题） 23

三、判断题（40题） 40

四、填空题（40题） 49

五、名词解释题（40题） 57

六、简答题（40题） 62

七、论述题（15题） 68

八、材料分析题（5题） 70

考试集教材配套题库介绍

一、精准匹配教材，一站式学习解决方案

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第7章-章节练习

微分方程

第一节微分方程的基本概念习题7-1

第二节可分离变量的微分方程习题7-2

第三节齐次方程一、齐次方程

二、可化为齐次的方程

习题7-3

第四节一阶线性微分方程一、线性方程

二、伯努利方程

习题7-4

第五节可降阶的高阶微分方程

一、y(n)=f(x)型的微分方程

二、y"=f(x,y')型的微分方程

三、y"=f(y,y')型的微分方程

习题7-5

第六节高阶线性微分方程

一、二阶线性微分方程举例

二、线性微分方程的解的结构

三、常数变易法

习题7-6

第七节常系数齐次线性微分方程习题7-7

第八节常系数非齐次线性微分方程

一、f(x)=eλxPm(x)型

二、f(x)=eλx[Pl(x)coswx+Qn(x)sinwx]型

习题7-8

第九节欧拉方程*习题7-9

第十节常系数线性微分方程组解法举例*习题7-10

总习题七

一、单项选择题（60题）

1.以下哪个方程是一阶线性微分方程？

A.y′=xy2       B.y′′=x+y

C.y′+y=x       D.y2=2x

答案：C

解析：一阶线性微分方程的一般形式为y′+P(x)y=Q(x)。对比选项，只有C选

项y′+y=x符合此形式。

2.若微分方程可化为dxdy=f(xy)的形式，则该方程称为：

A.齐次方程      B.伯努利方程

C.可分离变量的微分方程      D.一阶线性微分方程

答案：A

解析：形如dxdy=f(xy)的微分方程称为齐次方程。

3.以下哪个方程是二阶常系数线性微分方程？

A.y′′+3y′−2y=ex       B.y′′=xy

C.y2=2x       D.y′y′′=1

答案：A

解析：二阶常系数线性微分方程的一般形式为y′′+ay′+by=f(x)，其中a和b是常数。

对比选项，只有A选项y′′+3y′−2y=ex符合此形式。

4.对于形如y′′=f(x,y′)的微分方程，通常可以通过什么方法求解？

A.分离变量法       B.积分因子法

C.令p=y′的换元法      D.常数变易法

答案：C

解析：对于形如y′′=f(x,y′)的微分方程，通常可以令p=y′，则y′′=dxdp，从而转、

化为关于p的一阶微分方程进行求解。

5.欧拉方程dx2d2y+x2y=0可以通过什么变换转化为常系数线性微分方程？

A.令x=et       B.令y=ekx

C.令x=lnt       D.令y=sinkx

答案：A

解析：欧拉方程dx2d2y+x2y=0可以通过令x=et，从而dtdx=et，dx2d2y=dtd

(dxdy)dtdx1=dtd(e−tdtdy)et=e−tdt2d2y−e−tdtdy，代入原方程可转化为常系数线性

微分方程。

6.以下哪个选项描述的是微分方程的基本概念？

A.描述函数与其导数或积分之间关系的方程      B.仅涉及一个未知数的代数方程

C.描述几何图形性质的方程         D.描述物理现象的公式

答案：A

解析：微分方程是描述函数与其导数或积分之间关系的方程，因此A选项对

7.若微分方程可以写成y′=f(x)g(y)的形式，则称该方程为：

A.齐次方程      B.可分离变量的微分方程

C.一阶线性微分方程      D.伯努利方程

答案：B

解析：形如y′=f(x)g(y)的微分方程称为可分离变量的微分方程。

8.齐次方程dxdy=xy的解为：

A.y=Cx(C为常数)      B.y=C+x(C为常数)

C.y=Cx2(C为常数)      D.y=eCx(C为常数)

答案：A

解析：对齐次方程dxdy=xy进行分离变量并积分，可得y=Cx(C为常数)。

9.以下哪个方程是可化为齐次的方程？

A.y′=xx+y      B.y′=x2+y2

C.y′=xy1      D.y′=y2x

答案：A

解析：对于方程y′=xx+y，可以改写为y′=1+xy，进一步变形为dxdy−xy=1，

这是可化为齐次的方程的形式。

10.一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解可以通过什么方法求得？

A.分离变量法      B.积分因子法

C.常数变易法      D.欧拉公式法

答案：B

解析：一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解可以通过积分因子法求得。

11.伯努利方程y′+P(x)y=Q(x)yn(n≠0,1)可以通过什么变换转化为一阶线性微分方程？

A.令z=yn       B.令z=lny

C.令z=y1      D.令z=y1−n

答案：D

解析：对于伯努利方程y′+P(x)y=Q(x)yn(n≠0,1)，可以令z=y1−n，则z′=(1−n)y−ny′，

代入原方程可转化为一阶线性微分方程。

12.以下哪个方程是y′′=f(x)型的微分方程？

A.y′′=x2+y       B.y′′=sin(xy)

C.y′′=ex       D.y′′=y′1

答案：C

解析：形如y′′=f(x)的微分方程称为y′′=f(x)型的微分方程。对比选项，只有C选

项y′′=ex符合此形式。

13.对于y′′=f(x,y′)型的微分方程，通常可以通过什么方法求解？

A.分离变量法      B.令p=y′的换元法

C.欧拉公式法      D.常数变易法

答案：B

解析：对于y′′=f(x,y′)型的微分方程，通常可以令p=y′，则y′′=dxdp，从而转化

为关于p的一阶微分方程进行求解。

14.以下哪个方程是y′′=f(y,y′)型的微分方程？

A.y′′=x2       B.y′′=y2+(y′)3

C.y′′=cosx       D.y′′=xy′

答案：B

解析：形如y′′=f(y,y′)的微分方程称为y′′=f(y,y′)型的微分方程。对比选项，只有B

选项y′′=y2+(y′)3符合此形式。

15.二阶线性微分方程y′′−3y′+2y=0的解具有什么性质？

A.唯一性      B.无穷多解

C.无解      D.与初始条件无关

答案：A

解析：二阶线性微分方程的解在给定初始条件下是唯一的。

16.以下哪个选项描述的是线性微分方程的解的结构？

A.解的和仍为解      B.解的积仍为解

C.解的导数仍为解      D.解的逆仍为解

答案：A

解析：线性微分方程的解的和仍为解，这是线性微分方程解的一个重要性质。

17.常数变易法通常用于求解什么类型的微分方程？

A.一阶线性非齐次微分方程      B.一阶线性齐次微分方程

C.二阶线性齐次微分方程      D.二阶线性非齐次微分方程

答案：D

解析：常数变易法通常用于求解二阶线性非齐次微分方程。

18.常系数齐次线性微分方程y′′−2y′+y=0的特征方程为：

A.λ2−2λ+1=0       B.λ2+2λ+1=0

C.λ2−2λ+y=0       D.λ2−2λ+1=y

答案：A

解析：对于常系数齐次线性微分方程y′′−2y′+y=0，其特征方程为λ2−2λ+1=0。

19.以下哪个方程是f(x)=eλxPm(x)型的非齐次线性微分方程？

A.y′′−2y′+y=ex       B.y′′−2y′+y=x2

C.y′′−2y′+y=e2xx       D.y′′−2y′+y=sinx

答案：A

解析：形如y′′+ay′+by=f(x)=eλxPm(x)的微分方程称为f(x)=eλxPm(x)型的非齐

次线性微分方程。对比选项，只有A选项y′′−2y′+y=ex符合此形式。

20.对于欧拉方程x2y′′+xy′−y=0，可以通过什么变换转化为常系数线性微分方程？

A.令x=et       B.令y=ekx

C.令x=lnt       D.令y=xn

答案：A

解析：对于欧拉方程x2y′′+xy′−y=0，可以通过令x=et，从而dtdx=et，

dx2d2y=dtd(dxdy)dtdx1=dtd(e−tdtdy)et=e−tdt2d2y−e−tdtdy，代入原方程可转化为常系数线性微分方程。

21.以下哪个方程是微分方程

A.y=x2       B.y2=x2+1

C.dxdy=x2       D.y′+y=x

答案：C

解析：微分方程是包含未知函数的导数或微分的方程，C项dxdy=x2是一阶微分方程。

22. 可分离变量的微分方程的一般形式是？

23. A.dxdy=f(x)+g(y)      B.dxdy=f(x)g(y)

24. C.y′′=f(x,y′)      D.y′+P(x)y=Q(x)

答案：B

解析：可分离变量的微分方程的一般形式是dxdy=f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。

25. 齐次方程dxdy=xy的通解是？

26. A.y=Cx（C为常数）      B.y=C+lnx（C为常数）

27. C.y=Cx2（C为常数）      D.y=eCx（C为常数）

答案：A

解析：对齐次方程dxdy=xy进行分离变量并积分，可得通解y=Cx（C为常数）。

28. 伯努利方程y′+P(x)y=Q(x)yn（n≠0,1）可以通过什么变换转化为一阶线性微分方程？

29. A.令z=yn       B.令z=lny

30. C.令z=y1      D.令z=y1−n

答案：D

解析：对于伯努利方程，可以令z=y1−n，则z′=(1−n)y−ny′，代入原方程可转化为一阶线性微分方程。

31. 以下哪个方程是y′′=f(x,y′)型的微分方程？

32. A.y′′=x2+y       B.y′′=sin(xy)

33. C.y′′=ex+y′      D.y′′=y′1

答案：C

解析：形如y′′=f(x,y′)的微分方程称为y′′=f(x,y′)型的微分方程。对比选项，只有C选项y′′=ex+y′符合此形式。

34. 二阶线性微分方程y′′−3y′+2y=0的特征方程是？

35. A.λ2−3λ+2=0       B.λ2+3λ+2=0

36. C.λ2−3λ−2=0       D.λ2+2λ−3=0

答案：A

解析：对于二阶线性微分方程y′′−3y′+2y=0，其特征方程是λ2−3λ+2=0。

37. 常数变易法通常用于求解什么类型的微分方程？

38. A.一阶线性齐次微分方程      B.一阶线性非齐次微分方程

39. C.二阶线性齐次微分方程      D.二阶非线性微分方程

答案：B

解析：常数变易法通常用于求解一阶线性非齐次微分方程或二阶线性非齐次微分方程（通过降阶为一阶方程组后应用）。

40. 常系数齐次线性微分方程y′′′−2y′′+y′=0的解空间是几维的？

41. A.1维      B.2维

42. C.3维      D.4维

答案：C

解析：常系数齐次线性微分方程的解空间的维数等于其阶数，因此三阶方程的解空间是3维的。

29.对于f(x)=eλxPm(x)型的非齐次线性微分方程，其特解的形式通常为？

A.yp=eλxQm(x)（Qm(x)为m次多项式）

B.yp=xeλxQm(x)（Qm(x)为m次多项式，λ不是特征根）

C.yp=x2eλxQm(x)（Qm(x)为m次多项式）

D.yp=cos(λx)Qm(x)（Qm(x)为m次多项式）

答案：A

解析：对于f(x)=eλxPm(x)型的非齐次线性微分方程，其特解的形式通常

为yp=eλxQm(x)，其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式。

30.欧拉方程x2y′′+xy′−y=0可以通过什么变换转化为常系数线性微分方程？

A.令x=et       B.令y=ekx

C.令x=ln(t+1)      D.令y=xn（n为常数）

答案：A

解析：对于欧拉方程x2y′′+xy′−y=0，可以通过令x=et，从而利用链式法则和乘法

法则将方程转化为关于t的常系数线性微分方程。

31.以下哪个选项描述的是微分方程的基本概念？

A.含有未知数的等式      B.含有未知函数及其导数的等式

C.含有未知数的方程      D.含有未知函数及其积分的等式

答案：B

解析：微分方程是含有未知函数及其导数（或微分）的等式，用于描述某一类物理过程或几何性质等的变化规律。

32.对于可分离变量的微分方程dxdy=x+y1，下列哪个选项是正确的？

A.可以直接积分求解      B.需要先化为齐次方程再求解

C.需要使用常数变易法求解      D.无法求解

答案：A

解析：对于可分离变量的微分方程，如果可以将方程改写为dxdy=f(x)g(y)的形式，那么可以直接对两边进行积分求解。本题中的方程可以改为dxdy=x+y1，虽然形式稍显复杂，但仍然可以通过分离变量并积分来求解。

33.齐次方程dxdy=xy的解曲线在坐标系中的形状是？

A.直线      B.抛物线

C.双曲线      D.圆

答案：A

解析：齐次方程dxdy=xy可以改写为ydy=xdx，两边积分得到ln∣y∣=ln∣x∣+C，即y=Cx（C为常数）。解曲线在坐标系中是一条过原点的直线。

34.一阶线性微分方程dxdy+P(x)y=Q(x)的通解可以通过什么方法得到？

A.分离变量法      B.积分因子法

C.常数变易法      D.欧拉公式法

答案：B

解析：一阶线性微分方程dxdy+P(x)y=Q(x)的通解可以通过积分因子法得到。积

分因子是一个关于x的函数，乘以原方程的两边后，可以使方程变为可分离变量

的形式，从而求解。

35.对于可降阶的高阶微分方程y′′′=f(x)，下列哪个选项是正确的？

A.可以直接积分三次求解      B.需要先化为一阶方程组再求解

C.需要使用常数变易法求解      D.无法求解

答案：A

解析：对于可降阶的高阶微分方程y′′′=f(x)，可以直接对两边进行三次积分求解，

得到y通解。

36.高阶线性微分方程y(n)+an−1y(n−1)+⋯+a1y′+a0y=0的解具有什么性质？

A.唯一性      B.多样性

C.不确定性      D.与初值无关

答案：A

解析：高阶线性微分方程的解在给定初值条件下是唯一的。这是由线性微分方程

的叠加原理和存在唯一性定理保证的。

37.常系数齐次线性微分方程y′′′−3y′′+2y′=0的特征方程是？

A.λ3−3λ2+2λ=0       B.λ3+3λ2+2λ=0

C.λ2−3λ+2=0       D.λ3−2λ2−3λ=0

答案：A

解析：常系数齐次线性微分方程y′′′−3y′′+2y′=0的特征方程是将方程中的y′′′、y′′、

y′分别替换为λ3、λ2、λ后得到的方程，即λ3−3λ2+2λ=0。

38.对于常系数非齐次线性微分方程y′′−2y′+y=ex，若其特征根为λ1=λ2=1，则其特解的形式应为？

A.yp=axex（a为常数）         B.yp=(ax+b)ex（a、b为常数）

C.yp=ex(ax2+bx+c)（a、b、c为常数）      D.yp=xex（x为自变量）

答案：B

解析：当常系数非齐次线性微分方程的特征根为重根时，其特解的形式应为yp=(ax+b)eλx（a、b为常数），其中λ为特征根。本题中特征根为λ1=λ2=1，所以特解的形式应为yp=(ax+b)ex。

39.欧拉方程x2y′′−xy′+y=0可以通过什么变换转化为常系数线性微分方程？

A.令x=et       B.令y=ekx

C.令x=lnt       D.令y=xn（n为常数）

答案：A

解析：欧拉方程x2y′′−xy′+y=0可以通过令x=et（或等价地t=lnx）进行变换，将方

程中的x替换为et，并利用链式法则和乘法法则将方程转化为关于t的常系数线

性微分方程。

40.对于常系数线性微分方程组{y1′=−2y1+3y2y2′=4y1−6y2，下列哪个选项描述的是其解的性质？

A.解曲线是平面上的直线        B.解曲线是平面上的曲线

C.解曲线是空间中的直线        D.解曲线是空间中的曲线

答案：B

解析：常系数线性微分方程组描述的是平面上两个未知函数y1和y2的变化规律，其解曲线是平面上的曲线（或直线，但在此情况下更可能是曲线），而不是空间中的直线或曲线。由于方程组是二阶的（每个方程都包含一阶导数），因此解曲线在平面上。