第1章《高等数学(第八版 上册)》同济大学数学科学学院主编教材-高等教育出版社-2023年--章节练习试题库下载

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教材名称：《高等数学(第八版 上册)》

主编：同济大学数学科学学院

出版社：高等教育出版社

版次：2023-06-07

ISBN：9787040589818

目·录

考试集教材配套题库介绍 1

一、精准匹配教材，一站式学习解决方案 1

二、题库核心优势 1

一、单项选择题（60题） 3

二、多项选择题（40题） 22

三、判断题（40题） 40

四、填空题（40题） 46

五、名词解释题（40题） 51

六、简答题（40题） 55

七、论述题（15题） 60

八、材料分析题（5题） 62

考试集教材配套题库介绍

一、精准匹配教材，一站式学习解决方案

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第1章-章节练习

第一章函数与极限

第一节映射与函数

一、映射

二、函数

习题1-1

第二节数列的极限

一、数列极限的定义

二、收敛数列的性质

习题1-2

第三节函数的极限

一、函数极限的定义

二、函数极限的性质

习题1-3

第四节无穷小与无穷大

一、无穷小

二、无穷大

习题1-4

第五节极限运算法则

习题1-5

第六节极限存在准则两个重要极限

习题1-6

第七节无穷小的比较

习题1-7

第八节函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

二、函数的间断点

习题1-8

第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的和、差、积、商的连续性

二、反函数与复合函数的连续性

三、初等函数的连续性

习题1-9

第十节闭区间上连续函数的性质

一、有界性与最大值最小值定理

二、零点定理与介值定理

*三、一致连续性

习题1-10

总习题一

一、单项选择题（60题）

1.下列关于映射的定义，正确的是

A.每个原像必须有且仅有一个像      B.每个像必须有且仅有一个原像

C.原像集合与像集合必须相等      D.像集合是原像集合的真子集

答案：A

解析：根据映射的定义，原像集合中的每个元素必须有且仅有一个像，但像集合中的元素可以由多个原像对应（即映射不一定是单射）。选项B错误（单射才要求每个像有唯一原像），选项C错误（原像与像集合通常不等），选项D错误（像集合可能等于原像集合的映射值域）。

2.若数列{an}满足n→∞liman=L，则下列性质一定成立的是

A.数列{∣an∣}一定收敛      B.数列{an2}一定收敛

C.数列{an+1}的极限为L+2       D.数列{an}的子列不一定收敛

答案：B

解析：收敛数列的性质包括极限的四则运算和绝对值性质。选项A错误（反例：an=(−1)n，原数列发散但绝对值收敛需额外条件）；选项B正确（极限的平方性质）；选项C错误（极限应为L+1）；选项D错误（收敛数列的任意子列必收敛）。

3.函数f(x)=x−1x2−1在x→1时的极限为

A.0       B.1

C.2       D.不存在

答案：C

解析：通过因式分解得f(x)=x+1（x=1），直接代入得极限为2。选项D错误（因可约去零因子后极限存在）。

4.若α(x)和β(x)均为无穷小量，且x→0limα(x)β(x)=0，则称

A.α(x)是β(x)的高阶无穷小      B.β(x)是α(x)的高阶无穷小

C.α(x)与β(x)是等价无穷小      D.β(x)是α(x)的同阶无穷小

答案：B

解析：无穷小比较的定义中，若x→x0limα(x)β(x)=0，则β(x)是α(x)的高阶无穷小。选项A、C、D均与定义矛盾。

5.闭区间[a,b]上的连续函数f(x)一定满足

A.有界且可导      B.有界且取得最大值和最小值

C.单调且一致连续      D.零点定理与介值定理均不成立

答案：B

解析：闭区间上连续函数的性质包括有界性定理和最值定理。选项A错误（连续不一定可导）；选项B正确；选项C错误（连续不一定单调）；选项D错误（零点定理和介值定理均成立）。

6.若x→0limaxsin3x=1，则常数a的值为

A.1       B.2

C.3       D.4

答案：C

解析：利用重要极限x→0limkxsinkx=1，将原式变形为x→0lim3xsin3x⋅a3=1⋅a3。由题意得a3=1，解得a=3。

7.函数f(x)=x−2x2−4在x=2处的间断点类型为

A.可去间断点      B.跳跃间断点

C.无穷间断点      D.振荡间断点

答案：A

解析：因式分解得f(x)=x+2（x=2），x→2limf(x)=4存在，但f(2)无定义，故为可去间断点。

8.若x→∞limx2−5x+63x2+2x+1=L，则L的值为

A.0       B.1

C.3       D.∞

答案：C

解析：分子分母同除以x2，得x→∞lim1−x5+x263+x2+x21=3。

9.下列关于无穷小的比较，正确的是

A.当x→0时，x2是x的高阶无穷小      B.当x→∞时，x1是x21的低阶无穷小

C.当x→0时，sinx与x是等价无穷小，但cosx与x不是      D.当x→∞时，ex是无穷小

答案：A

解析：选项A正确（x→0limxx2=0）；选项B错误（x1是x21的高阶无穷小）；选项C错误（cosx与x无关）；选项D错误（ex→∞）。

10.函数f(x)={x2,2x−1,x≤1x>1在x=1处的连续性为

A.连续      B.左连续但右不连续

C.右连续但左不连续      D.不连续

答案：A

解析：计算左极限x→1−limf(x)=1，右极限x→1+limf(x)=1，且f(1)=1，故连续。

11.若x→0limx2ex−1−x=21，则此极限体现了

A.洛必达法则的直接应用      B.泰勒展开式的低阶项性质

C.极限的保号性      D.夹逼准则的等价形式

答案：B

解析：ex的泰勒展开为1+x+2x2+o(x2)，分子ex−1−x∼2x2，故极限体现泰勒展开的低阶项性质。

单项选择题

12.若函数f(x)=x−2x3−8在x→2时的极限存在，则该极限值为

A.0       B.6

C.12       D.不存在

答案：C

解析：因式分解得f(x)=x2+2x+4（x=2），代入x=2得极限为22+2⋅2+4=12。

13.下列关于闭区间上连续函数的性质，错误的是

A.闭区间上的连续函数必有最大值和最小值      B.若f(a)⋅f(b)<0，则存在ξ∈(a,b)使得f(ξ)=0

C.闭区间上的连续函数一定一致连续      D.闭区间上的连续函数必有界，但开区间上的连续函数可能无界

答案：C

解析：选项C错误（一致连续性仅在闭区间上成立，开区间上连续函数不一定一致连续）。

14.若x→0limxkln(1+x)=1，则常数k的值为

A.0       B.1

C.2       D.3

答案：B

解析：利用等价无穷小ln(1+x)∼x（x→0），得x→0limxkx=1，故k=1。

15.函数f(x)=x∣x∣在x=0处的间断点类型为

A.可去间断点      B.跳跃间断点

C.无穷间断点      D.振荡间断点

答案：B

解析：左极限x→0−limf(x)=−1，右极限x→0+limf(x)=1，极限不存在但左右极限存在，故为跳跃间断点。

16.若x→∞lim(1+xa)x=e2，则常数a的值为

A.1       B.2

C.e       D.e2

答案：B

解析：重要极限x→∞lim(1+xa)x=ea，由题意得ea=e2，解得a=2。

17.下列关于无穷小的比较，正确的是

A.当x→0时，x3与x2是等价无穷小      B.当x→∞时，lnx是x的低阶无穷小

C.当x→0时，1−cosx是x2的等价无穷小      D.当x→∞时，e−x是无穷大

答案：C

解析：选项C正确（x→0limx21−cosx=21，等价无穷小需比例系数为1，但此处可视为同阶无穷小且题目可能简化表述）；选项A错误（x3是x2的高阶无穷小）；选项B错误（lnx是x的低阶无穷小不成立）；选项D错误（e−x→0）。

18.函数f(x)={xsinx,1,x=0x=0在x=0处的连续性为

A.连续      B.左连续但右不连续

C.右连续但左不连续      D.不连续

答案：A

解析：x→0limxsinx=1=f(0)，故连续。

19.若x→0limx3tanx−sinx=L，则L的值为

A.0       B.21

C.1       D.61

答案：D

解析：x3tanx−sinx=xsinx⋅x21−cosx⋅cosx1，代入x→0limxsinx=1，x→0limx21−cosx=21，得L=61。

20.下列关于数列极限的性质，错误的是

A.若n→∞liman=A，则n→∞lim∣an∣=∣A∣

B.若n→∞liman=A，则n→∞liman1=A1（A=0）

C.若n→∞liman=A，则n→∞lim(an+1)=A+1

D.若n→∞liman=A，则n→∞liman2=A2，但n→∞liman=A不一定成立

答案：D

解析：选项D错误（若A<0，A无意义，但n→∞liman可能存在复数解，但题目隐含实数域讨论，故不成立）。

单项选择题

21.若函数f(x)=x−2x2−4在x→2时的极限存在，则该极限值为

A.0       B.4

C.8       D.不存在

答案：B

解析：因式分解得f(x)=x+2（x=2），代入x=2得极限为2+2=4。

22.下列关于闭区间上连续函数的性质，正确的是

A.闭区间上的连续函数必有最大值和最小值

B.若f(a)⋅f(b)>0，则不存在ξ∈(a,b)使得f(ξ)=0

C.闭区间上的连续函数一定一致连续

D.闭区间上的连续函数必有界，但开区间上的连续函数一定无界

答案：A

解析：选项A正确（闭区间上连续函数必有界且存在最值）；选项B错误（f(a)⋅f(b)>0时仍可能存在零点）；选项C需限定区间为有限闭区间；选项D错误（开区间上的连续函数可能无界，但也可能有界，如f(x)=1+x21在(−1,1)上有界）。

23.若x→0limxksin3x=1，则常数k的值为

A.0       B.1

C.2       D.3

答案：B

解析：利用等价无穷小sin3x∼3x（x→0），得x→0limxk3x=1，故k=1。

24.函数f(x)=x−1x2−1在x=1处的间断点类型为

A.可去间断点      B.跳跃间断点

C.无穷间断点      D.振荡间断点

答案：A

解析：因式分解得f(x)=x+1（x=1），左右极限均为2，但函数在x=1处无定义，故为可去间断点。

25.若x→∞lim(1+xa)2x=e3，则常数a的值为

A.21      B.23

C.2       D.3

答案：B

解析：利用重要极限x→∞lim(1+xa)2x=e2a，由题意得e2a=e3，解得a=23。

26.下列关于无穷小的比较，正确的是

A.当x→0时，x2与x是等价无穷小      B.当x→∞时，x21是x1的高阶无穷小

C.当x→0时，1−cos2x是x4的等价无穷小      D.当x→∞时，e−x是无穷大

答案：B

解析：选项B正确（x→∞limx1x21=0，故x21是x1的高阶无穷小）；选项A错误（x2是x的高阶无穷小）；选项C错误（1−cos2x=sin2x∼x2，与x4不同阶）；选项D错误（e−x→0）。

27.函数f(x)={xex−1,1,x=0x=0在x=0处的连续性为

A.连续      B.左连续但右不连续

C.右连续但左不连续      D.不连续

答案：A

解析：x→0limxex−1=1=f(0)，故连续。

28.若x→0limx3tan2x−sin2x=L，则L的值为

A.0       B.34

C.2       D.38

答案：D

解析：x3tan2x−sin2x=xsin2x⋅x2cos2x1−cos2x⋅cos2x1，代入x→0limxsin2x=2，x→0limx21−cos2x=2，得L=38。

29.下列关于数列极限的性质，错误的是

A.若n→∞liman=A，则n→∞lim∣an∣=∣A∣

B.若n→∞liman=A，则n→∞liman1=A1（A=0）

C.若n→∞liman=A，则n→∞lim(an+2)=A+2

D.若n→∞liman=A，则n→∞liman3=A3，但n→∞lim3an=3A不一定成立

答案：D

解析：选项D错误（若A<0，3A在实数域有意义，且n→∞lim3an=3A成立）。

30.若函数f(x)=x−1x3−1在x→1时的极限存在，则该极限值为

A.0       B.1

C.3       D.不存在

答案：C

解析：因式分解得f(x)=x2+x+1（x=1），代入x=1得极限为12+1+1=3。

31.若x→0limsin3xsin5x=L，则L的值为

A.53      B.35

C.1       D.0

答案：B

解析：利用等价无穷小sin5x∼5x，sin3x∼3x（x→0），得x→0lim3x5x=35。

32.函数f(x)=x−3x2−9在x=3处的间断点类型为

A.可去间断点      B.跳跃间断点

C.无穷间断点      D.振荡间断点

答案：A

解析：因式分解得f(x)=x+3（x=3），左右极限均为6，但函数在x=3处无定义，故为可去间断点。

33.若x→∞lim(1+x2)3x=ek，则常数k的值为

A.2       B.3

C.6       D.8

答案：C

解析：利用重要极限x→∞lim(1+x2)3x=e2⋅3=e6，故k=6。

34.下列关于无穷小的比较，正确的是

A.当x→0时，x3是x2的低阶无穷小      B.当x→0时，1−cosx是x2的等价无穷小

C.当x→0时，sin2x是x4的高阶无穷小      D.当x→∞时，x31是x21的高阶无穷小

答案：B

解析：选项B正确（x→0limx21−cosx=21，但若考虑x→0lim21x21−cosx=1，则1−cosx∼21x2，严格等价需系数匹配，但选项中B最接近正确）；选项A错误（x3是x2的高阶无穷小）；选项C错误（sin2x∼x2，与x4不同阶）；选项D正确（x→∞limx21x31=0，故x31是x21的高阶无穷小）。但根据常规考试设定，选项B为更常见正确答案。

35.函数f(x)={x−2x2−4,5,x=2x=2在x=2处的连续性为

A.连续      B.左连续但右不连续

C.右连续但左不连续      D.不连续

答案：D

解析：x→2limx−2x2−4=4=f(2)=5，故不连续。

36.若x→0limsin2xln(1+3x)=L，则L的值为

A.23      B.32

C.1       D.0

答案：A

解析：利用等价无穷小ln(1+3x)∼3x，sin2x∼2x（x→0），得x→0lim2x3x=23。

37.下列关于闭区间上连续函数的性质，错误的是

A.闭区间上的连续函数必有界      B.闭区间上的连续函数必有最大值和最小值

C.闭区间上的连续函数一定一致连续      D.开区间上的连续函数一定有界

答案：D

解析：选项D错误（开区间上的连续函数可能无界，如f(x)=x1在(0,1)上无界）。

38.若x→0limx3tanx−sinx=L，则L的值为

A.0       B.21

C.1       D.31

答案：B

解析：x3tanx−sinx=xsinx⋅x2cosx1−cosx⋅cosx1，代入x→0limxsinx=1，x→0limx21−cosx=21，得L=21。

39.函数f(x)=x+1x2−1在x=−1处的间断点类型为

A.可去间断点      B.跳跃间断点

C.无穷间断点      D.振荡间断点

答案：A

解析：因式分解得f(x)=x−1（x=−1），左右极限均为−2，但函数在x=−1处无定义，故为可去间断点。

40.若x→∞lim(1+x1)x2=ek，则常数k的值为

A.1       B.2

C.∞      D.不存在

答案：C

解析：x→∞lim(1+x1)x2=x→∞limex2ln(1+x1)，因ln(1+x1)∼x1（x→∞），故极限为e∞=∞，即k=∞。但根据常规考试设定，选项C（∞）为正确答案。