第5章《高等数学(第八版 上册)》同济大学数学科学学院主编教材-高等教育出版社-2023年--章节练习试题库下载

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教材名称：《高等数学(第八版 上册)》

主编：同济大学数学科学学院

出版社：高等教育出版社

版次：2023-06-07

ISBN：9787040589818

目录

考试集教材配套题库介绍 1

一、精准匹配教材，一站式学习解决方案 1

二、题库核心优势 1

一、单项选择题（60题） 3

二、多项选择题（40题） 18

三、判断题（40题） 38

四、填空题（40题） 44

五、名词解释题（40题） 49

六、简答题（40题） 53

七、论述题（15题） 58

八、材料分析题（5题） 61

考试集教材配套题库介绍

一、精准匹配教材，一站式学习解决方案

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第5章-章节练习

第五章定积分

第一节定积分的概念与性质一、定积分问题举例

二、定积分的定义

三、定积分的近似计算

四、定积分的性质

习题5-1

第二节微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

二、积分上限的函数及其导数

三、牛顿-莱布尼茨公式

习题5-2

第三节定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法

二、定积分的分部积分法

习题5-3

第四节反常积分一、无穷限的反常积分

二、无界函数的反常积分

习题5-4

第五节反常积分的审敛法Γ函数一、无穷限反常积分的审效法

二、无界函数的反常积分的审敛法

三、Γ函数

习题5-5

总习题五

一、单项选择题（60题）

1.关于定积分定义的理解，以下哪项描述是正确的？

A.定积分是函数在某区间上的函数值之和      B.定积分是函数在某区间上的函数值平均值

C.定积分是函数在某区间上的面积      D.定积分是函数在某区间上的最大值与最小值之差

答案：C

解析：定积分的几何意义是函数图像与x轴所围成的面积（x轴上方的面积为正，下方的面积为负）。

2.牛顿-莱布尼茨公式的主要作用是什么？

A.计算函数的导数      B.计算函数的极限

C.计算定积分      D.计算不定积分

答案：C

解析：牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的核心内容，它建立了定积分与原函数之间的联系，从而可以通过求原函数来计算定积分。

3.在进行定积分的换元法时，以下哪个步骤是必需的？

A.确定新的积分变量和积分区间      B.计算函数的导数

C.计算函数的极限      D.计算函数的平均值

答案：A

解析：在进行定积分的换元法时，首先需要确定一个新的积分变量，并据此变换积分区间，以便将原积分转化为一个更容易计算的形式。

4.反常积分与定积分的主要区别是什么？

A.反常积分的积分区间是有限的，而定积分的积分区间是无限的

B.反常积分的被积函数在积分区间内可能是无界的，而定积分的被积函数在积分区间内是有界的

C.反常积分的结果一定是有限的，而定积分的结果可能是无限的

D.反常积分只能计算面积，而定积分可以计算体积

答案：B

解析：反常积分与定积分的主要区别在于被积函数在积分区间内是否有界。反常积分的被积函数在积分区间内可能是无界的，而定积分的被积函数在积分区间内是有界的。

5.Γ函数在数学中主要用于什么类型的计算？

A.计算三角函数的值      B.计算反常积分的值

C.计算多项式的根      D.计算矩阵的行列式

答案：B

解析：Γ函数在数学中主要用于计算某些特定类型的反常积分的值，特别是那些涉及阶乘的积分。它在概率论、统计学、组合数学等领域有广泛应用。

6.在定积分的近似计算中，以下哪种方法不是常用的？

A.梯形法      B.辛普森法

C.牛顿法      D.矩形法

答案：C

解析：牛顿法主要用于求解方程的根，而不是用于定积分的近似计算。梯形法、辛普森法和矩形法都是常用的定积分近似计算方法。

7.关于定积分的性质，以下哪项描述是错误的？

A.定积分具有线性性质，即∫ab[kf(x)+lg(x)]dx=k∫abf(x)dx+l∫abg(x)dx

B.定积分具有可加性，即∫acf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx

C.定积分的结果与积分变量的符号无关，即∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx

D.定积分的结果一定是一个正数

答案：D

解析：定积分的结果可以是正数、负数或零，取决于被积函数在积分区间内的正负情况。因此，选项D的描述是错误的。

8.在进行定积分的分部积分法时，选择u和dv的原则是什么？

A.选择u为容易求导的函数，dv为容易积分的函数

B.选择u为容易积分的函数，dv为容易求导的函数

C.u和dv的选择是任意的

D.u和dv必须都是多项式函数

答案：A

解析：在进行定积分的分部积分法时，通常选择u为容易求导的函数，dv为容易积分的函数，以便简化计算过程。

9.关于无穷限的反常积分，以下哪种说法是正确的？

A.无穷限的反常积分一定收敛      B.无穷限的反常积分一定发散

C.无穷限的反常积分可能收敛也可能发散      D.无穷限的反常积分只能通过数值方法计算

答案：C

解析：无穷限的反常积分可能收敛也可能发散，这取决于被积函数在无穷远处的行为。因此，选项C的描述是正确的。

10.Γ函数在反常积分审敛法中的主要作用是什么？

A.用于判断反常积分的收敛性      B.用于计算反常积分的具体值

C.用于求解微分方程      D.用于计算函数的导数

答案：A

解析：Γ函数在反常积分审敛法中主要用于判断某些特定类型的反常积分的收敛性。它通过与已知收敛或发散的积分进行比较，来帮助确定未知积分的收敛性。因此，选项A的描述是正确的。

11.对于定积分∫abf(x)dx，若f(x)在[a,b]上连续且f(x)≥0，则该定积分表示的是：

A.f(x)在[a,b]上的平均值      B.f(x)在[a,b]上的最大值

C.由y=f(x)，x=a，x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积      D.f(x)在[a,b]上的导数

答案：C

解析：根据定积分的几何意义，当f(x)在[a,b]上连续且f(x)≥0时，定积分∫abf(x)dx表示的是由y=f(x)，x=a，x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。

12.在使用换元法计算定积分时，若进行变换t=g(x)，则新的积分限应如何确定？

A.保持原积分限不变      B.将原积分限代入g(x)得到新的积分限

C.将原积分限取反      D.无法确定新的积分限

答案：B

解析：在使用换元法计算定积分时，若进行变换t=g(x)，则需要将原积分限代入g(x)，从而得到新的积分限。

13.关于定积分的分部积分法，其公式为：

A.∫abudv=uv∣ab−∫abvdu       B.∫abudv=uv∣ab+∫abvdu

C.∫abudv=21(uv∣ab−∫abvdu)      D.∫abudv=21(uv∣ab+∫abvdu)

答案：A

解析：定积分的分部积分法公式为∫abudv=uv∣ab−∫abvdu，其中u和v是关于x的函数，且du和dv分别是u和v的微分。

14.对于无穷限的反常积分∫a+∞f(x)dx，若其收敛，则以下哪个选项是正确的？

A.limx→+∞f(x)=0       B.limx→+∞∫axf(t)dt存在

C.f(x)在[a,+∞)上恒大于0       D.f(x)在[a,+∞)上恒小于0

答案：B

解析：对于无穷限的反常积分∫a+∞f(x)dx，若其收敛，则意味着limx→+∞∫axf(t)dt存在。这并不意味着limx→+∞f(x)=0，也不意味着f(x)在[a,+∞)上恒大于0或恒小于0。

15.关于Γ函数，以下哪个选项是正确的？

A.Γ函数只适用于整数      B.Γ函数是阶乘函数在复数域上的推广

C.Γ函数在复数域上无定义      D.Γ函数与定积分无关

答案：B

解析：Γ函数是阶乘函数在复数域上的推广，定义为Γ(n)=∫0+∞tn−1e−tdt（其中n为复数且实部大于0）。因此，选项B是正确的。选项A错误，因为Γ函数适用于复数；选项C错误，因为Γ函数在复数域上有定义；选项D错误，因为Γ函数与定积分密切相关。

16.在应用定积分的性质时，若f(x)和g(x)在[a,b]上均可积，且f(x)≤g(x)，则下列哪个不等式成立？

A.∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx       B.∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx

C.∫abf(x)dx=∫abg(x)dx       D.无法确定∫abf(x)dx与∫abg(x)dx的大小关系

答案：B

解析：根据定积分的性质，若f(x)和g(x)在[a,b]上均可积，且f(x)≤g(x)，则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

17.在进行定积分的换元积分法时，若t=φ(x)，则dt应如何表示？

A.dt=φ′(x)dx       B.dt=φ′(x)1dx

C.dt=φ(x)dx       D.dt=φ(x)dx

答案：A

解析：在进行定积分的换元积分法时，若t=φ(x)，则根据微分的定义，有dt=φ′(x)dx。

18.关于定积分的分部积分法，下列哪个选项是正确的应用步骤？

A.先对u求导，再对dv积分，最后代入公式计算      B.先对dv求导，再对u积分，最后代入公式计算

C.同时对u和dv进行求导和积分，然后代入公式      D.无需对u和dv进行求导和积分，直接代入公式

答案：A

解析：定积分的分部积分法应用步骤是：先对u求导得到du，再对dv积分得到v，最后代入公式∫abudv=uv∣ab−∫abvdu进行计算。

19.对于无界函数的反常积分∫abf(x)dx（其中f(x)在x=c（a<c<b）处无界），若其收敛，则以下哪个选项描述是正确的？

A.limx→c−∫axf(t)dt和limx→c+∫xbf(t)dt都存在且有限

B.limx→c∫axf(t)dt存在且有限

C.f(x)在[a,b]上除x=c外都连续

D.f(x)在[a,b]上恒大于0或恒小于0

答案：A

解析：对于无界函数的反常积分∫abf(x)dx（其中f(x)在x=c（a<c<b）处无界），若其收敛，则意味着limx→c−∫axf(t)dt和limx→c+∫xbf(t)dt都存在且有限。

20.关于Γ函数的性质，以下哪个选项是正确的？

A.Γ函数是偶函数      B.Γ函数在n为正整数时，Γ(n)=(n−1)!

C.Γ函数在复数域上无定义      D.Γ函数与定积分的计算无关

答案：B

解析：Γ函数在n为正整数时，有Γ(n)=(n−1)!，这是Γ函数的一个重要性质。选项A错误，因为Γ函数不是偶函数；选项C错误，因为Γ函数在复数域上有定义；选项D错误，因为Γ函数与定积分的计算密切相关，特别是在处理某些特定类型的反常积分时。

21.在使用定积分的性质计算∫ac[f(x)+g(x)]dx时，以下哪个等式成立？

A.∫ac[f(x)+g(x)]dx=∫acf(x)dxacg(x)dx       B.∫ac[f(x)+g(x)]dx=∫acf(x)dx+∫acg(x)dx

C.∫ac[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫bcg(x)dx

D.∫ac[f(x)+g(x)]dx无法拆分为两个定积分的和

答案：B

解析：根据定积分的性质，对于任意两个在[a,c]上可积的函数f(x)和g(x)，有∫ac[f(x)+g(x)]dx=∫acf(x)dx+∫acg(x)dx。

22.在进行定积分的换元积分法时，若t=φ(x)，且φ(x)在[a,b]上单调且可导，则新的积分变量t的积分限应如何确定？

A.新的积分限仍为[a,b]      B.新的积分限为[φ(a),φ(b)]

C.新的积分限为[φ(b),φ(a)]（当φ(x)单调递减时）      D.新的积分限无法确定

答案：B

解析：在进行定积分的换元积分法时，若t=φ(x)，且φ(x)在[a,b]上单调且可导，则新的积分变量t的积分限应为[φ(a),φ(b)]。当φ(x)单调递减时，虽然积分上下限会交换位置，但在计算过程中会自动调整，最终结果仍然正确。因此，选项B是正确的。

23.关于定积分的分部积分法，以下哪个选项描述了其适用条件？

A.仅适用于被积函数为两个函数乘积的情况      B.仅适用于被积函数为两个函数之和的情况

C.适用于所有类型的定积分      D.仅适用于被积函数为多项式的情况

答案：A

解析：定积分的分部积分法适用于被积函数为两个函数乘积的情况。通过选择合适的u和dv，可以将原积分转化为更易求解的形式。因此，选项A是正确的。

24.对于无穷限的反常积分∫1+∞xp1dx，当p取何值时，该反常积分收敛？

A.p>1       B.p<1

C.p=1       D.p的取值与反常积分的收敛性无关

答案：A

解析：对于无穷限的反常积分∫1+∞xp1dx，当p>1时，该反常积分收敛；当p≤1时，该反常积分发散。因此，选项A是正确的。

25.关于Γ函数的性质，以下哪个选项是错误的？

A.Γ函数是阶乘函数在复数域上的推广      B.Γ函数在复数域上除了负整数点外都有定义

C.Γ函数满足Γ(n)=(n−1)!（当n为正整数时）      D.Γ函数在复数域上恒大于0

答案：D

解析：Γ函数是阶乘函数在复数域上的推广，且在复数域上除了负整数点外都有定义。当n为正整数时，有Γ(n)=(n−1)!。然而，Γ函数在复数域上并不恒大于0。例如，当n为负的非整数时，Γ函数的值可能为复数或负数（在实数范围内考虑其模或实部时）。因此，选项D是错误的。

26.在计算定积分∫01exdx时，若使用梯形法则进行近似计算，且将区间[0,1]等分为2份，则近似值为多少？

A.2e+1        B.4e+1+4e−1

C.2e+2e1       D.2e−1+1

答案：A

解析：梯形法则的公式为∫abf(x)dx≈2nb−a[f(x0)+2f(x1)+⋯+2f(xn−1)+f(xn)]，其中n为区间等分数，xi为等分点。在本题中，n=2，a=0，b=1，f(x)=ex，代入公式计算即可得到近似值2e+1。

27.关于积分上限的函数Φ(x)=∫axf(t)dt，以下哪个选项描述了其导数的性质？

A.Φ′(x)=f(x)      B.Φ′(x)=−f(x)

C.Φ′(x)=f(a)      D.Φ′(x)与f(x)无关

答案：A

解析：根据微积分基本定理，若f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数Φ(x)=∫axf(t)dt在[a,b]上可导，且其导数为Φ′(x)=f(x)。

28.在应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分∫abf(x)dx时，以下哪个条件是必需的？

A.f(x)在[a,b]上连续      B.f(x)在[a,b]上可导

C.f(x)在[a,b]上有界      D.f(x)在[a,b]上单调

答案：A

解析：牛顿-莱布尼茨公式要求被积函数f(x)在积分区间[a,b]上连续。虽然f(x)在[a,b]上有界也是定积分存在的一个条件，但牛顿-莱布尼茨公式的直接应用需要f(x)的连续性。因此，选项A是正确的。

29.对于无界函数的反常积分∫ab(x−c)p1dx（其中a<c<b），当p取何值时，该反常积分在x=c处收敛？

A.p<1       B.p>1

C.p=1       D.p的取值与反常积分的收敛性无关

答案：A

解析：对于无界函数的反常积分∫ab(x−c)p1dx（其中a<c<b），当p<1时，该反常积分在x=c处收敛；当p≥1时，该反常积分在x=c处发散。因此，选项A是正确的。

30.关于Γ函数Γ(n)，以下哪个选项描述了其递推关系？

A.Γ(n)=nΓ(n−1)      B.Γ(n)=n1Γ(n−1)

C.Γ(n)=Γ(n+1)−1       D.Γ(n)与Γ(n−1)之间无递推关系

答案：A

解析：Γ函数满足递推关系Γ(n)=nΓ(n−1)，这是Γ函数的一个重要性质。通过递推关系，可以将Γ函数的计算转化为更简单的形式。因此，选项A是正确的。

31.在利用定积分的换元法计算∫01x21−x2dx时，若令x=sint，则新的积分限和被积函数应如何变化？

A.积分限变为[0,2π]，被积函数变为sin2tcos2t

B.积分限变为[0,4π]，被积函数变为sin2tcost

C.积分限变为[0,2π]，被积函数变为sin2t

D.积分限变为[−2π,2π]，被积函数变为sin2tcos2t（此选项积分限错误）

答案：A

解析：令x=sint，则dx=costdt。当x=0时，t=0；当x=1时，t=2π。因此，新的积分限为[0,2π]。将被积函数中的x替换为sint，得到sin2t1−sin2t=sin2tcost⋅cost（因为1−sin2t=cost在[0,2π]上）=sin2tcos2t。

32.关于定积分的分部积分法公式∫abudv=uv∣ab−∫abvdu，以下哪个选项描述了其适用条件？

A.仅适用于u和v都是多项式的情况      B.适用于u和v中至少有一个是容易求导或积分的情况

C.仅适用于u和v都是三角函数的情况      D.仅适用于u和v都是指数函数的情况

答案：B

解析：定积分的分部积分法公式∫abudv=uv∣ab−∫abvdu适用于u和v中至少有一个是容易求导或积分的情况。通过选择合适的u和dv，可以将原积分转化为更易求解的形式。

33.在计算无穷限的反常积分∫1+∞x2+11dx时，以下哪个方法是最合适的？

A.直接计算定积分      B.利用三角代换（如令x=tant）进行计算

C.利用部分分式分解进行计算      D.无法计算该反常积分

答案：B

解析：在计算无穷限的反常积分∫1+∞x2+11dx时，可以利用三角代换（如令x=tant）进行计算。通过代换，可以将原积分转化为一个在有限区间上的定积分，从而更容易求解。

34.关于反常积分的审敛法，以下哪个选项描述了比较审敛法的原理？

A.若0≤f(x)≤g(x)在[a,+∞)上恒成立，且∫a+∞g(x)dx收敛，则∫a+∞f(x)dx也收敛

B.若f(x)和g(x)在[a,+∞)上都是正函数，且limx→+∞g(x)f(x)=1，则∫a+∞f(x)dx和∫a+∞g(x)dx的敛散性相同

C.若f(x)在[a,+∞)上连续，且limx→+∞f(x)=0，则∫a+∞f(x)dx收敛

D.若f(x)在[a,+∞)上单调递减，则∫a+∞f(x)dx收敛

答案：A

解析：比较审敛法的原理是：若0≤f(x)≤g(x)在[a,+∞)上恒成立，且∫a+∞g(x)dx收敛，则∫a+∞f(x)dx也收敛。这是反常积分审敛法中的一种重要方法。

35.关于Γ函数Γ(n)，以下哪个选项描述了其与阶乘的关系？

A.Γ(n)=n!（当n为正整数时）      B.Γ(n)=(n−1)!（当n为正整数时）

C.Γ(n)=n!1（当n为正整数时）      D.Γ(n)与n!之间无直接关系

答案：B

解析：Γ函数是阶乘函数在复数域上的推广，且满足Γ(n)=(n−1)!（当n为正整数时）。这是Γ函数的一个重要性质，也是其在数学和物理中广泛应用的基础。

36.在计算定积分∫0πsin2xdx时，若使用定积分的性质将其转化为更易计算的形式，以下哪个选项是正确的？

A.∫0πsin2xdx=2∫02πsin2xdx

B.∫0πsin2xdx=∫02πsin2xdx−∫2ππsin2xdx

C.∫0πsin2xdx=∫0πcos2xdx

D.∫0πsin2xdx无法转化为更易计算的形式

答案：A

解析：利用定积分的性质，特别是关于区间对称性的性质，可以将∫0πsin2xdx转化为2∫02πsin2xdx。这是因为sin2x在[0,π]上是关于x=2π对称的。

37.关于定积分的换元法，以下哪个选项描述了其核心思想？

A.将被积函数中的变量替换为另一个变量，从而简化被积函数

B.直接对被积函数进行积分，无需进行任何替换

C.将积分区间进行分割，然后分别对每个小区间进行积分

D.利用定积分的性质将定积分转化为不定积分进行计算

答案：A

解析：定积分的换元法的核心思想是将被积函数中的变量替换为另一个变量，从而简化被积函数，使其更容易进行积分。通过选择合适的替换变量，可以将原积分转化为一个更易求解的形式。

38.在计算无穷限的反常积分∫1+∞xp1dx时，以下哪个选项描述了其收敛性？

A.当p>1时，积分收敛      B.当p<1时，积分收敛

C.当p=1时，积分收敛      D.积分的收敛性与p的取值无关

答案：A

解析：无穷限的反常积分∫1+∞xp1dx的收敛性取决于p的取值。当p>1时，积分收敛；当p≤1时，积分发散。

39.关于反常积分的审敛法中的极限审敛法，以下哪个选项描述了其原理？

A.若limx→+∞xpf(x)=L（其中L为非零常数），则当p>1时，∫a+∞f(x)dx收敛

B.若limx→+∞xpf(x)=0（其中p为任意实数），则∫a+∞f(x)dx一定收敛

C.若limx→+∞xpf(x)=+∞，则∫a+∞f(x)dx一定发散

D.极限审敛法无法判断反常积分的敛散性

答案：A

解析：极限审敛法的一种形式是，若存在非零常数L和正数p，使得limx→+∞xpf(x)=L，则当p>1时，∫a+∞f(x)dx收敛；当p≤1时，积分发散（但需注意L不能为0，否则需进一步分析）。在本题选项中，A选项最接近这一原理的核心意思。

40.关于Γ函数Γ(n)，以下哪个选项描述了其在n为正整数时的特殊性质？

A.Γ(n)=nn       B.Γ(n)=(n−1)!（当n为正整数时）

C.Γ(n)=n!1（当n为正整数时）      D.Γ(n)与n!之间无直接关系

答案：B

解析：Γ函数是阶乘函数在复数域上的推广，且满足Γ(n)=(n−1)!（当n为正整数时）。这是Γ函数的一个重要性质，也是其在数学和物理中广泛应用的基础。