第3章《高等数学(第八版 上册)》同济大学数学科学学院主编教材-高等教育出版社-2023年--章节练习试题库下载

【试卷页数】：共62页/预览前10页

【试卷大小】：4.10M

【下载方式】：百度网盘

【 提 取 码】：jb4x

【下载地址】：https://www.kaoshiji.cn/sxyyysx/775.html

教材名称：《高等数学(第八版 上册)》

主编：同济大学数学科学学院

出版社：高等教育出版社

版次：2023-06-07

ISBN：9787040589818

目·录

考试集教材配套题库介绍 1

一、精准匹配教材，一站式学习解决方案 1

二、题库核心优势 1

一、单项选择题（60题） 3

二、多项选择题（40题） 20

三、判断题（40题） 36

四、填空题（40题） 42

五、名词解释题（40题） 48

六、简答题（40题） 52

七、论述题（15题） 57

八、材料分析题（5题） 60

考试集教材配套题库介绍

一、精准匹配教材，一站式学习解决方案

本网站专注于为高等教育教材，提供全章节配套题库服务，完全覆盖教材知识点。题库设计严格遵循教材章节结构，助力学习者系统掌握知识体系。

二、题库核心优势

1.题量丰富，解析详尽

每章独立题库，总计超千道高质量试题。每题均附标准答案+逐题解析，深入剖析考点，帮助学生举一反三。

2.灵活下载，多端适配

支持题库下载，满足打印、笔记等个性化学习需求。配套手机在线刷题小程序，随时随地碎片化学习，自动记录进度与错题。

3.智能功能，高效提分

小程序智能归纳易错题型，针对性强化薄弱环节。限时自测，还原真实考试环境，提升应试能力。

考试集官网[www.kaoshiji.cn]下载试题

关注微信公众号：百业先生，为您提供一站式服务。

扫一扫，码上刷题

考试集，让考试更简单！

第3章-章节练习

第三章微分中值定理与导数的应用

第一节微分中值定理

一、罗尔定理

二、拉格朗日中值定理

三、柯西中值定理

习题3-1

第二节洛必达法则习题3-2

第三节泰勒公式习题3-3

第四节函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法

二、曲线的凹凸性与拐点

习题3-4

第五节函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法

二、最大值最小值问题

习题3-5

第六节函数图形的描绘习题3-6

第七节曲率一、弧微分

二、曲率及其计算公式

三、曲率圆与曲率半径

*四、曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线

习题3-7

第八节方程的近似解一、二分法

二、切线法

三、割线法

习题3-8

总习题三

一、单项选择题（60题）

1.罗尔定理的适用条件不包括以下哪一项？

A.函数在闭区间上连续      B.函数在开区间内可导

C.函数在闭区间两端点处的函数值相等      D.函数在闭区间上单调递增

答案：D

解析：罗尔定理的适用条件包括函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且在闭区间两端点处的函数值相等。函数在闭区间上单调递增并不是罗尔定理的必要条件。

2.根据拉格朗日中值定理，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么存在至少一个点c∈(a,b)，使得以下哪个等式成立？

A.f′(c)=b−af(b)−f(a)      B.f(c)=b−af(b)−f(a)

C.f′(c)=f(b)−f(a)      D.f(c)=f(b)−f(a)

答案：A

解析：拉格朗日中值定理表明，如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么存在至少一个点使得函数在该点的导数等于区间两端点函数值之差与区间长度的比值。

3.洛必达法则主要用于求解哪种类型的极限？

A.0/0型      B.∞/∞型

C.0×∞型      D.A和B都是

答案：D

解析：洛必达法则主要用于求解0/0型和∞/∞型的极限，通过求导来简化极限的计算。

4.在判断函数的单调性时，如果函数的导数在某个区间内大于0，那么函数在这个区间内是？

A.单调递减      B.单调递增

C.常数函数      D.无法确定

答案：B

解析：根据函数单调性的判定法，如果函数的导数在某个区间内大于0，那么函数在这个区间内是单调递增的。

5.在求函数的极值时，以下哪个步骤是正确的？

A.首先求函数的二阶导数，然后令其为0求解

B.首先求函数的一阶导数，然后令其为0求解，并检查这些点是否是极值点

C.直接求函数的值，然后比较大小

D.无需求导，直接观察函数图像

答案：B

解析：在求函数的极值时，首先需要求函数的一阶导数，然后令其为0求解得到可能的极值点，最后需要检查这些点是否是真正的极值点。

6.泰勒公式的主要作用是什么？

A.求解函数的导数      B.近似表示函数

C.求解函数的积分      D.判断函数的单调性

答案：B

解析：泰勒公式的主要作用是通过多项式来近似表示一个函数，特别是在某一点附近。

7.在判断曲线的凹凸性时，如果函数的二阶导数在某个区间内大于0，那么曲线在这个区间内是？

A.凹的      B.凸的

C.直线      D.无法确定

答案：A

解析：根据曲线的凹凸性与拐点的判定法，如果函数的二阶导数在某个区间内大于0，那么曲线在这个区间内是凹的。

8.在求函数的最大值和最小值时，以下哪个步骤是必要的？

A.仅求函数的一阶导数      B.求函数的一阶导数，并令其为0求解，然后检查这些点以及区间的端点

C.仅求函数的二阶导数      D.无需求导，直接观察函数图像

答案：B

解析：在求函数的最大值和最小值时，需要求函数的一阶导数，并令其为0求解得到可能的极值点，然后检查这些点以及区间的端点来确定最大值和最小值。

9.曲率圆与曲率半径的关系是什么？

A.曲率圆半径等于曲率      B.曲率圆半径等于曲率的倒数

C.曲率圆半径与曲率无关      D.曲率圆半径是曲率的平方

答案：B

解析：曲率圆半径是曲率的倒数，即R=K1，其中R是曲率圆半径，K是曲率。

10.在使用二分法求解方程的近似解时，以下哪个步骤是正确的？

A.随意选择一个区间，然后不断取中点

B.选择一个包含方程解的区间，然后不断取中点并检查中点处的函数值

C.直接求解方程得到精确解

D.无需求解，直接观察函数图像

答案：B

解析：在使用二分法求解方程的近似解时，需要选择一个包含方程解的区间，然后不断取中点并检查中点处的函数值，根据函数值的正负来缩小区间，直到达到所需的精度。

11.在应用柯西中值定理时，需要满足哪些条件？

A.两个函数在闭区间上连续，在开区间内可导

B.两个函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且分母函数的导数在该区间内不为0

C.仅需一个函数在闭区间上连续，在开区间内可导

D.两个函数在闭区间上可导，无需考虑连续性

答案：B

解析：柯西中值定理要求两个函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且分母函数的导数在该区间内不为0，这样才能保证定理的成立。

12.函数的极值点可能是以下哪种点？

A.仅驻点      B.仅不可导点

C.驻点或不可导点      D.仅区间端点

答案：C

解析：函数的极值点可能是驻点或不可导点。区间端点虽然可能是函数的最值点，但不一定是极值点。

13.在描绘函数图形时，以下哪个步骤是关键的？

A.仅计算函数在特定点的值      B.分析函数的单调性、凹凸性、极值点和拐点

C.仅观察函数的图像      D.仅计算函数的导数

答案：B

解析：在描绘函数图形时，需要分析函数的单调性、凹凸性、极值点和拐点等关键信息，这些信息能够帮助我们更准确地描绘出函数的图像。

14.曲率中心的计算公式与以下哪个概念直接相关？

A.弧微分      B.曲率

C.曲率半径      D.切线方程

答案：B

解析：曲率中心的计算公式与曲率直接相关。曲率描述了曲线在某一点处的弯曲程度，而曲率中心则是与该点处曲率圆相关的点，其计算公式涉及曲率。

15.在使用切线法求解方程的近似解时，以下哪个描述是正确的？

A.切线法总是收敛到方程的解      B.切线法需要选择一个初始点，并沿着该点处的切线方向迭代

C.切线法不需要求导      D.切线法只适用于线性方程

答案：B

解析：切线法（牛顿法）需要选择一个初始点，并沿着该点处的切线方向进行迭代，以逼近方程的解。虽然切线法在很多情况下是有效的，但它并不总是收敛到方程的解，特别是当初始点选择不当或函数性质不佳时。此外，切线法需要求导来计算切线斜率，因此不适用于无法求导的函数。同时，切线法不仅适用于线性方程，也适用于非线性方程。

16.在利用泰勒公式进行函数近似时，近似精度与以下哪个因素直接相关？

A.函数的一阶导数      B.函数的二阶导数

C.泰勒公式的展开项数      D.函数的定义域

答案：C

解析：泰勒公式的近似精度与展开项数直接相关。展开项数越多，近似精度通常越高。一阶导数和二阶导数虽然影响泰勒公式的具体形式，但并不直接决定近似精度。函数的定义域与近似精度无直接关系。

17.关于函数单调性的判定，以下哪个说法是正确的？

A.函数的一阶导数大于0，则函数在该区间内单调递减

B.函数的一阶导数小于0，则函数在该区间内单调递增

C.函数的一阶导数在该区间内不变号，则函数在该区间内单调

D.函数的一阶导数在该区间内变号，则函数在该区间内单调

答案：C

解析：根据函数单调性的判定法，如果函数的一阶导数在该区间内不变号（即始终大于0或始终小于0），则函数在该区间内单调。一阶导数大于0时函数单调递增，小于0时函数单调递减。一阶导数变号则意味着函数在该区间内不是单调的。

18.在求解函数的最大值和最小值问题时，以下哪个步骤是必不可少的？

A.仅计算函数在特定点的值      B.分析函数的单调性并找出极值点

C.仅观察函数的图像      D.仅计算函数的导数并令其为0

答案：B

解析：在求解函数的最大值和最小值问题时，需要分析函数的单调性并找出极值点。这是确定函数最大值和最小值的关键步骤。计算函数在特定点的值或观察函数的图像可能有助于理解函数的行为，但不足以确定最大值和最小值。计算函数的导数并令其为0是找出极值点的一种方法，但还需要进一步分析这些极值点以及区间的端点来确定最大值和最小值。

19.曲率半径与曲率的关系是什么？

A.曲率半径是曲率的平方      B.曲率半径是曲率的倒数

C.曲率半径与曲率无关      D.曲率半径是曲率的平方根

答案：B

解析：曲率半径与曲率的关系是曲率半径是曲率的倒数。即R=K1，其中R是曲率半径K是曲率。

20.在使用割线法求解方程的近似解时，以下哪个描述是正确的？

A.割线法需要选择两个初始点，并通过连接这两点的割线来逼近方程的解

B.割线法总是收敛到方程的解

C.割线法不需要计算函数值

D.割线法只适用于线性方程

答案：A

解析：割线法需要选择两个初始点，并通过连接这两点的割线来逼近方程的解。虽然割线法在很多情况下是有效的，但它并不总是收敛到方程的解，特别是当初始点选择不当或函数性质不佳时。割线法需要计算函数值来确定割线的斜率和截距。此外，割线法不仅适用于线性方程，也适用于非线性方程。

21.关于罗尔定理，以下哪个描述是正确的？

A.罗尔定理适用于所有连续函数

B.罗尔定理要求函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且两端点函数值相等

C.罗尔定理只适用于线性函数

D.罗尔定理与函数的极值无关

答案：B

解析：罗尔定理要求函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且两端点函数值相等。这是罗尔定理的基本条件，只有满足这些条件的函数才可能应用罗尔定理。

22.在应用拉格朗日中值定理时，如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么以下哪个结论是正确的？

A.存在至少一个点使得函数在该点的导数等于区间两端点函数值之差与区间长度的比值

B.函数在整个区间上单调

C.函数在整个区间上凹凸性一致

D.函数在区间内没有极值点

答案：A

解析：拉格朗日中值定理表明，如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么存在至少一个点使得函数在该点的导数等于区间两端点函数值之差与区间长度的比值。这是拉格朗日中值定理的基本结论。

23.关于曲线的凹凸性与拐点，以下哪个说法是正确的？

A.曲线的凹凸性由一阶导数决定      B.拐点是曲线凹凸性发生改变的点，且该点处二阶导数存在且为0

C.拐点处函数值一定为0       D.曲线的凹凸性与拐点无关

答案：B

解析：曲线的凹凸性由二阶导数决定，而不是一阶导数。拐点是曲线凹凸性发生改变的点，在大多数情况下（但非所有情况），该点处二阶导数存在且为0（或二阶导数不存在但函数图像在该点处改变凹凸性）。拐点处函数值不一定为0。曲线的凹凸性与拐点是密切相关的。

24.在使用二分法求解方程的近似解时，以下哪个步骤是关键的？

A.选择一个包含方程解的区间，并不断取中点检查函数值      B.仅计算函数在特定点的值

C.仅观察函数的图像      D.无需选择区间，直接进行迭代

答案：A

解析：在使用二分法求解方程的近似解时，需要选择一个包含方程解的区间，并不断取中点检查函数值。根据函数值的正负来缩小区间，直到达到所需的精度。这是二分法的基本步骤。

25.关于泰勒公式的余项，以下哪个说法是正确的？

A.泰勒公式的余项总是为0       B.泰勒公式的余项表示了近似值与真实值之间的误差

C.泰勒公式的余项与展开项数无关      D.泰勒公式的余项只与函数的一阶导数有关

答案：B

解析：泰勒公式的余项表示了近似值与真实值之间的误差。余项的大小和形式取决于展开项数和函数的性质。展开项数越多，余项通常越小，近似精度越高。余项与函数的所有导数（而不仅仅是一阶导数）都有关。

26.关于函数单调性的判定法，当函数的一阶导数在某区间内恒大于零时，以下哪个结论成立？

A.函数在该区间内单调递减      B.函数在该区间内单调递增

C.函数在该区间内先增后减      D.无法确定函数的单调性

答案：B

解析：根据函数单调性的判定法，若函数的一阶导数在某区间内恒大于零，则函数在该区间内单调递增。

27.在应用洛必达法则求极限时，以下哪个条件是必要的？

A.分子和分母在某点的极限都为零

B.分子和分母在某点的极限都为无穷大

C.分子和分母在某点的极限都为零或都为无穷大，且在该点的去心邻域内可导，分母导数不为零      D.只需分子和分母在某点的极限存在

答案：C

解析：洛必达法则的应用条件是分子和分母在某点的极限都为零或都为无穷大，且在该点的去心邻域内可导，分母导数不为零。

28.关于曲线的凹凸性，以下哪个说法是正确的？

A.若函数的一阶导数大于零，则曲线是凹的      B.若函数的二阶导数大于零，则曲线是凹的

C.曲线的凹凸性与一阶导数无关      D.曲线的凹凸性由函数值决定

答案：B

解析：曲线的凹凸性由函数的二阶导数决定。若函数的二阶导数大于零，则曲线是凹的；若二阶导数小于零，则曲线是凸的。

29.在使用切线法求解方程的近似解时，以下哪个步骤是必须的？

A.选择一个初始点，并计算该点处的函数值

B.选择一个初始点，并计算该点处的函数值和一阶导数

C.仅计算函数在特定点的值，无需选择初始点

D.选择一个初始点，并直接给出方程的解

答案：B

解析：在使用切线法（牛顿法）求解方程的近似解时，需要选择一个初始点，并计算该点处的函数值和一阶导数。然后利用切线方程进行迭代，逐步逼近方程的解。

30.关于泰勒公式的应用，以下哪个说法是正确的？

A.泰勒公式只能用于近似计算函数值      B.泰勒公式可以用于求解函数的极值和最值

C.泰勒公式与函数的单调性无关      D.泰勒公式只能用于展开一次函数

答案：B

解析：泰勒公式不仅可以用于近似计算函数值，还可以用于求解函数的极值和最值、分析函数的单调性、凹凸性等。泰勒公式的应用范围非常广泛，不仅限于一次函数的展开。

31.在应用柯西中值定理时，若函数f(x)与g(x)满足定理条件，则以下哪个结论成立？

A.存在至少一个点c，使得f′(c)=g′(c)

B.存在至少一个点c，使得f′(c)/g′(c)=[f(b)−f(a)]/[g(b)−g(a)]

C.存在至少一个点c，使得f(c)=g(c)

D.存在至少一个点c，使得f(c)/g(c)=[f(b)−f(a)]/[g(b)−g(a)]

答案：B

解析：柯西中值定理表明，若函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g′(x)在(a,b)内不为零，则存在至少一个点c∈(a,b)，使得f′(c)/g′(c)=[f(b)−f(a)]/[g(b)−g(a)]。

32.关于函数极值的判定，以下哪个说法是正确的？

A.若函数在某点的一阶导数为零，则该点一定是极值点

B.若函数在某点的一阶导数不存在，则该点一定不是极值点

C.函数在某点取得极值的必要条件是该点的一阶导数为零或一阶导数不存在

D.函数在某点取得极值的充分条件是该点的二阶导数大于零

答案：C

解析：函数在某点取得极值的必要条件是该点的一阶导数为零或一阶导数不存在。但这只是必要条件，不是充分条件。例如，函数在某点一阶导数为零，但该点可能是拐点而不是极值点。同样，二阶导数大于零只是判断函数在该点附近是凹的，并不能直接确定该点是极值点。

33.在描绘函数图形时，以下哪个步骤是关键的？

A.仅计算函数在特定点的值      B.分析函数的单调性、凹凸性和极值点

C.无需考虑函数的定义域      D.仅观察函数的图像

答案：B

解析：在描绘函数图形时，需要分析函数的单调性、凹凸性和极值点。这些信息有助于确定函数图形的大致形状和特征。仅计算函数在特定点的值或观察函数的图像（假设已给出）是不够的。同时，函数的定义域也是描绘函数图形时需要考虑的重要因素。

34.关于曲率半径，以下哪个说法是正确的？

A.曲率半径是曲率的平方      B.曲率半径与曲率成反比

C.曲率半径总是大于零      D.曲率半径与曲线的形状无关

答案：B

解析：曲率半径与曲率成反比，即R=1/K（其中R是曲率半径，K是曲率）。曲率半径总是大于零（对于平面曲线而言），并且与曲线的形状密切相关。曲率半径越大，曲线在该点附近的弯曲程度越小；曲率半径越小，曲线在该点附近的弯曲程度越大。

35.在使用二分法求解方程的近似解时，若初始区间为[a,b]，且f(a)⋅f(b)<0，则以下哪个结论成立？

A.方程在区间[a,b]内一定有实根      B.方程在区间[a,b]内一定没有实根

C.方程在区间[a,b]内可能有实根，也可能没有实根      D.无法确定方程在区间[a,b]内是否有实根

答案：A

解析：在使用二分法求解方程的近似解时，若初始区间为[a,b]，且f(a)⋅f(b)<0，则根据零点存在定理（介值定理的一个特例），方程在区间[a,b]内一定有实根。这是因为函数在区间两端点的函数值异号，所以函数在该区间内至少有一个零点。

36.关于拉格朗日中值定理，以下哪个描述是正确的？

A.若函数在闭区间上连续，则存在至少一个点使得函数值等于区间端点值的平均值

B.若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则存在至少一个点使得该点的导数等于区间两端点函数值之差与区间长度的比值

C.若函数在开区间内可导，则函数在该区间内单调

D.若函数在闭区间上连续且单调，则函数在该区间内可导

答案：B

解析：拉格朗日中值定理表明，若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则存在至少一个点使得该点的导数等于区间两端点函数值之差与区间长度的比值。这是微分学中的一个重要定理，用于建立函数在区间上的平均变化率与某点处的瞬时变化率之间的关系。

37.在应用泰勒公式时，以下哪个说法是正确的？

A.泰勒公式只能用于展开一次函数

B.泰勒公式展开后的级数一定是收敛的

C.泰勒公式可以用于近似计算函数在某点附近的值

D.泰勒公式与函数的单调性无关，因此不能用于分析函数的单调性

答案：C

解析：泰勒公式可以用于近似计算函数在某点附近的值，这是通过将函数展开为无穷级数来实现的。虽然泰勒公式展开后的级数不一定收敛（这取决于展开点和函数的性质），但在实际应用中，我们通常只取级数的前几项来近似计算函数值。此外，泰勒公式也可以用于分析函数的单调性、凹凸性等性质。

38.关于曲线的凹凸性与拐点，以下哪个说法是正确的？

A.若函数在某点的二阶导数大于零，则曲线在该点附近是凸的

B.拐点是曲线凹凸性发生改变的点，且该点处的二阶导数一定为零

C.曲线的凹凸性只与函数的一阶导数有关

D.若函数在某点的二阶导数不存在，则该点不可能是拐点

答案：B

解析（按题目要求简化）：拐点是曲线凹凸性发生改变的点。在大多数情况下，拐点处的二阶导数为零（但这不是必要条件，因为二阶导数可能不存在）。选项B的表述虽然不完全严谨，但在本题的选项中是最接近正确答案的。选项A错误，因为二阶导数大于零时曲线是凹的；选项C错误，因为曲线的凹凸性由二阶导数决定；选项D错误，因为二阶导数不存在的点也可能是拐点。

39.在使用割线法求解方程的近似解时，以下哪个步骤是关键的？

A.选择一个初始点，并计算该点处的函数值      B.选择两个初始点，并分别计算这两点处的函数值

C.仅计算函数在特定点的值，无需选择初始点      D.选择一个初始点，并直接给出方程的解

答案：B

解析：割线法（也称为弦截法）是一种迭代方法，用于求解方程的近似解。它需要选择两个初始点，并分别计算这两点处的函数值。然后利用这两点构造一条割线，并找到这条割线与x轴的交点作为下一次迭代的近似解。因此，选择两个初始点并分别计算这两点处的函数值是割线法的关键步骤。

40.关于函数图形的描绘，以下哪个说法是正确的？

A.描绘函数图形时无需考虑函数的定义域

B.描绘函数图形时只需关注函数的极值点和拐点

C.描绘函数图形时需要综合考虑函数的定义域、单调性、凹凸性、极值点和拐点等信息

D.描绘函数图形时只需观察函数的图像

答案：C

解析：描绘函数图形时需要综合考虑函数的定义域、单调性、凹凸性、极值点和拐点等信息。这些信息有助于我们确定函数图形的大致形状和特征。仅关注函数的极值点和拐点或仅观察函数的图像（假设已给出）是不够的。同时，函数的定义域也是描绘函数图形时需要考虑的重要因素。